Franco Conti

(docente di matematica della Scuola Normale Superiore di Pisa)

MATEMATICA E TEMPO

 

TESTO INCOMPLETO:
vanno di nuovo inseriti alcuni grafici e formule matematiche inviate dall’autore



 

Associare una nozione così sfuggente ed eterea come quella di tempo a una disciplina che presume di coltivare "certezze" è sicuramente una operazione azzardata.

            Le brevi note che seguono presentano solo alcune sfaccettature di questa problematica: quasi si avesse un poliedro di cristallo a simboleggiare la matematica e su di esso si andassero a riflettere gli svariati accadimenti con i quali il tempo ci si presenta (naturalmente in "ordine temporale"). Non si ha alcuna pretesa di completezza, si tratta solamente di spunti che possono aiutare a attivare un percorso di riflessione in classe.

 

A)  Circa due secoli prima di Euclide, Zenone di Elea propose all'attenzione di filosofi e matematici alcuni sottili paradossi destinati a diventare famosi e a rimanere ben presenti, attraverso i secoli, nell'evoluzione del pensiero, stimolando analisi sempre più raffinate del concetto di infinito e suscitando la formulazione di nuove dicotomie paradossali sempre più sottili.

            Il più semplice dei paradossi di Zenone si può formulare, in termini moderni, più o meno così: per arrivare al traguardo dei 1000 metri un atleta deve prima averne percorso la metà, poi deve percorrere la metà dei 500 metri che rimangono e poi ancora la metà di quel che resta, e così via ... all'infinito , dunque l'atleta non raggiungerà mai il traguardo. Certamente Zenone stesso era convinto che l'atleta sarebbe invece arrivato ben presto a concludere la corsa ...qual è dunque l'errore? La conclusione è, infatti paradossale, ma non è così ovvio da cosa il paradosso tragga origine; forse dalla tacita assunzione che in un tempo  finito non si possa "fare che un numero finito di cose". La traduzione matematica di tale assunto è che infiniti intervalli temporali non possano avere "somma" finita.

            Ed è proprio il paradosso di Zenone a convincere che questa assunzione è falsa: la lunghezza di un chilometro (o il corrispondente intervallo temporale) resta tale dopo che se ne sia effettuata un ideale suddivisione in mezzo chilometro, più un quarto di chilometro, più un ottavo di chilometro, dunque

 

 

[formula e grafico]

 

 

 

 

 

ove i puntini stanno a indicare che  nella formula compaiono tutte  le potenze di 1/2; essa è pertanto una somma infinita .

 

 

B) Una pallina cade da un'altezza h  su un piano orizzontale e rimbalza fino a raggiungere una altezza qh  , ove il numero q  è compreso fra zero e uno ed è indipendente da h . Idealmente la pallina effettuerà infiniti rimbalzi raggiungendo ogni volta una quota minore pari al prodotto di q  con la quota precedente. È naturale chiedersi se la pallina cesserà di rimbalzare in un tempo finito oppure no.

La figura mostra il moto della pallina quando la velocità iniziale è diretta orrizontalmente. È chiaro che per studiare il problema basterà considerare unicamente la componente verticale della velocità, che si supporrà nulla. Dalla legge oraria del moto uniformemente accelerato si ha

 

ove g  è l'accelerazione di gravità, si ricava dunque il tempo che intercorre fra l'istante in cui la pallina viene rilasciata e il primo rimbalzo:

[FORMULA]

 

Tenendo conto che dopo il primo rimbalzo la pallina raggiunge l’altezza  q h, dopo il secondo l’altezza  q2 h, … si avrà che il tempo t1   fra il primo e il secondo rimbalzo è

 

analogamente

ove  tn   denota il tempo che trascorre tra l’ n-esimo e l’ (n + 1)-esimo rimbalzo. Il tempo totale è, dunque, espresso da una serie geometrica di ragione radice quadrata di q < 1 che, quindi, converge:

La pallina dunque, pur effettuando infiniti rimbalzi, cessa di rimbalzare dopo un tempo finito. Nel caso di una pallina da ping-pong che rimbalzi su una tavola di legno duro un valore ragionevole di  q  è 0,75. Ponendo  h = 1 metro si ricava T = 6,3 secondi, di poco inferiore al valore sperimentale che chiunque è in grado di ottenere (la discrepanza è dovuta alla resistenza dell’aria).

 

 

 

C)  In un settore molto diverso troviamo connessioni "interessanti" fra tempo e matematica: nel classico problema degli interessi bancari di Bernoulli.

            Si supponga di investire una data cifra, diciamo 1 milione, in una operazione bancaria che rende alla fine di un anno un interesse del 100% (l'effettivo tasso di interesse non cambia la natura del problema, si è scelto questo lucroso interesse per comodità di calcolo). Dopo un anno il titolare possiederà 2 milioni; ma sarebbe diventato più ricco con un investimento che rendesse il 50% due volte in un anno, ogni sei mesi il suo capitale sarebbe stato moltiplicato per un fattore 1.5 e alla fine dell'anno egli avrebbe 2.25 milioni, corrispondente a un interesse annuale del 125%. Ancora più proficuo sarebbe stato un investimento che accredita interessi ogni mese (un breve calcolo mostra che ciò corrisponde ad avere alla fine dell'anno 2.613 milioni). Minore è il tempo  che intercorre fra due accrediti successivi degli interessi più vantaggioso è il guadagno. E se allora gli interessi vengono accreditati ogni giorno o ogni ora oppure ogni secondo per il risparmiatore sarebbe sempre meglio!

Possiamo portare questo processo al limite e chiedere alla banca di accreditare gli interessi in continuazione?

Siamo qui al limite della concezione usuale della nozione di tempo, legata ad una successione di eventi e alla loro verifica misurata con determinate unità di misura (poco importa che siano anni-luce o nanosecondi);

può venire il sospetto che in una situazione come quella descritta la banca debba pagare una quantità infinita di denaro e dunque andrebbe in rovina.

Le cose però stanno diversamente, come è spiegato su ogni manuale di matematica la somma che si può raggiungere non supera i 3 milioni, precisamente ammonta a circa 2.71828 milioni (il numero e  di Nepero).

D) Un altro campo di interazione con la matematica è dato dalla misura del tempo  . Fin dai tempi delle prime meridiane e dei primi astrolabi la misura del tempo ha avuto a che fare con cerchi, ellissi, curve più complesse, suddivisioni (si noti che 360, numero con il quale noi non solo siamo soliti misurare gli angoli, ma anche gli intervalli di tempo, è un numero con straordinarie proprietà in quanto è il numero più vicino al numero dei giorni dell'anno che è facilmente suddividibile in fattori, avendo come sottomultipli 2,3,4,5,6,8,10,12,15,18, 20,24, 30,40, 60, 120, 180). Vogliamo qui succintamente accennare a un non piccolo contributo portato dalla matematica per misurare con precisione il  tempo. Si dice che Galileo  abbia intuito la cosiddetta legge di isocronismo del pendolo osservando il lampadario della Cattedrale di Pisa; vera o falsa che sia questa storia la conclusione è erronea. Si può parlare di isocronismo (vale a dire  periodo di oscillazione  praticamente indipendente dalla ampiezza delle oscillazioni) solo quando l'angolo di oscillazione è piccolo, molto piccolo. Per oscillazioni più grandi di 4 o 5 gradi il periodo del pendolo dipende anche in maniera consistente dall'ampiezza, questo fa si che un orologio a pendolo non possa funzionare con accuratezza. Siamo nel 1600 e ci si chiederà qual'era la necessità di misurare il tempo con tanta precisione: ma è il periodo delle grandi scoperte geografiche e la navigazione in mare aperto aveva assoluta necessità di effettuare con precisione il "punto nave"; per la latitudine non vi era alcun problema, in quanto bastava un semplice teodolite per individuare l'angolazione massima raggiunta dal sole, per la longitudine invece il problema è diverso: occorre conoscere con esattezza l'ora. Svariati concorsi furono banditi per trovare una soluzione a questo problema; fra i contributi più rilevanti occorre citare quello dello scienziato olandese Christian Huygens. Egli dimostra che esiste una curva lungo la quale un grave può oscillare in modo che il periodo delle oscillazioni, grandi o piccole che siano, è rigorosamente sempre lo stesso. Questa curva è la cicloide, la curva descritta da un punto di un cerchio che rotola senza strisciare lungo una retta.

La cicloide ha svariate altre proprietà legate al tempo: essa è la curva che rende minimo il tempo di caduta di un grave da un punto P  a un punto Q  , cioè oltre che tautocrona e anche brachistocrona, inoltre essa è evoluta ed evolvente di se stessa. Usando quest'ultima proprietà Huyghens riesce a costruire un pendolo nel quale la massa si muove lungo una cicloide e dunque le oscillazioni di un pendolo siffatto sono rigorosamente isocrone. Successivamente l'invenzione del meccanismo a scappamento e il perfezionarsi della meccanica degli orologi fecero cadere in disuso la costruzione dei pendoli a ganasce cicloidali.

 

 

 

 

 

E)  Vi è poi un modo trasversale con il quale il tempo  si presenta in matematica: quanto tempo ci vuole? Per fare cosa? Ad esempio per trovare un nuovo teorema o per dimostrare una congettura matematica che, agli aspetti pragmatici e intuitivi, si presenta "quasi" certa. Qui si trovano delle sorprese: è a tutti noto il caso del cosiddetto "ultimo teorema di Fermat", la cui formulazione è molto semplice (se n  è un intero maggiore di 2 l'equazione

 xn  + yn  = zn   non ha soluzioni intere) ma ha richiesto più di 350 anni per trovare soluzione. Ma vi sono casi, per circostanze diverse, ancora più eclatanti: lo stesso paradosso di Zenone ha trovato una spiegazione rigorosa solo 2500 anni dopo la sua formulazione. La  congettura di Goldbach, estremamente semplice da formulare: ogni numero pari è la somma di numeri primi, non ha ancora trovato una dimostrazione (e vi è chi dubita che possa essere dimostrata oppure confutata). Per la stessa determinazione delle prime cifre decimali del numero pi-greco sono state investite energie temporali enormi (una intera vita di calcoli per trovarne 35 attorno al 1600, svariate settimane di tempo macchina su uno dei calcolatori più potenti per trovarne 2 triliardi nel 1997) Un caso veramente anomalo si è presentato con il  teorema enorme , relativo alla classificazione dei gruppi finiti semplici, 40 anni, 200 matematici, 15000 pagine disseminate in più di 500 articoli: tutto questo per ottenere un ciclopico risultato che mai alcuna persona nella sua vita avrà  tempo  a sufficienza per verificare. In questo caso entra in crisi lo stesso concetto di dimostrazione matematica, in quanto si tratta di un esperimento non riproducibile.

 

 

Molti altri sarebbero gli aspetti legati alle  interconnessioni tra matematica e tempo, che qui non abbiamo tempo  di accennare: il tempo di calcolo con i moderni computer, che è arrivato vicino alla soglia non superabile dovuta al valore finito della velocità della luce e della struttura atomica, il calcolo delle probabilità e le sue contraddizioni e le nefandezze che circolano su (ad esempio) il ritardo dei numeri del lotto.

Forse vi sarà un'altra occasione per approfondire questi e altri temi.

 

 

Infine una considerazione conclusiva, spuria: quando si parla di tempo  sovente nel linguaggio comune si dice anche "che tempo fa", con riferimento alla situazione meteorologica. È veramente considerevole l'apporto che la matematica, affiancata dalla tecnologia informatica, ha dato e continuerà a dare nell'indicare metodologie sempre più precise per le previsioni meteorologiche a breve termine. Ma questa è un'altra storia.